もったいないのココロ

「もったいない」とはもともと「おそれおおい」や「ありがたい」と同じような意味合いの言葉だった。最近では「物を無駄にしない」とか「節約する」という意味で使うようだが、もともとの使い方はちょっと違う。

　　◇　畑でとれたものは神様から頂いたもったいないものだから、
　　　　粗末に扱っちゃいけない
　　◇　熊の体は熊が人間にくれたもったいないものだから、
　　　　肉も皮も毛もすべて大事に使わせてもらおう
　　◇　鎌（かま）や鍬（くわ）は農作業に使うもったいない
　　　　ものだから、足でまたいじゃいけない

　この言葉、すべてに神が宿ると考える日本人の感性に由来する言葉である。だから、時には無駄使いに見えるような行為にもなる。

　　◇　食事のたびにもったいないご飯を神棚に供える
　　◇　収穫物からできたもったいないお酒を庭にまく
　　◇　自分の修養のために使わせてもらったもったいない道具を燃やして神様に返す

　もともとの意味合いでは、捨てるという「行為」がもったいないのではない。神様が宿ったその「物」がもったいないのである。極めて日本人的な言葉である。

大人の相対的貧困率（１）2019年

　（図１）は厚生労働省のサイトで公表している「世帯の所得の分布」（2019年）のグラフです。ただし、一部、文字を伏せているところがあります。
　（ア）と（イ）には「平均値」と「中央値」のどちらかが入ります。さて、（ア）と（イ）のどちらが「平均値」でしょうか、どちらが「中央値」でしょうか。また、「最頻値」はいくらでしょうか。

厚生労働省のサイト（→ https://www.mhlw.go.jp/toukei/saikin/hw/k-tyosa/k-tyosa19/dl/03.pdf ）より

　まず一番わかりやすいのは「最頻値」でしょう。値が最も多くなるところ、すなわち棒の高さが最も高いところ、この場合は「200万円〜300万円」がそれに当たります。数学の教科書的には、その幅の真ん中の値をとって、最頻値は「250万円」となります。
　次に「平均値」と「中央値」について考えてみましょう。グラフに各所得区分ごとの割合が書いてありますから、上から順にもしくは下から順に足していけば、中央値がおよそわかります、平均値については2000万円以上が一括りになっているために、グラフから平均値を求めることはできません。
　それはそうと、平均値と中央値ではどちらが上でどちらが下でしょうか。グラフの形から判断してください。
　答えは、グラフの下の方、すなわち「437万円が中央値」で、グラフの上の方、すなわち「552万3千円が平均値」です。グラフの右の方、すなわち少数だけれども非常に高額の所得を得ている人たちがいる影響で、平均値は中央値より大きくなります。
　端的に言えば、少数の大金持ちが平均値を釣り上げているわけです。でもその人たちの人数は少ないですから、中央値にはほとんど影響を与えないのです。

平均値	552万円
中央値	437万円
最頻値	250万円
相対的貧困率	20％

   ところで、最近「相対的貧困率」という言葉を聞くようになりました。皆さんもテレビなどで「子供の６人に１人が相対的貧困」という言い方を聞いたことがあるでしょう。
　ところで「相対的貧困」とはどういうものかというと、世帯の所得などが全体の「中央値の半分以下」であることをいいます。ということは、全体がどれだけ豊かになろうと、豊かさにバラツキがあれば、必ず相対的貧困は存在することになります。
　でも冷静に考えてみると、「子供の６人に１人が相対的貧困」と言われても、その数字が大きいのか小さいのかよくわからない。それがどれだけ大変なことか、あるいはそうでもないのか、実はよくわからない。
　では、上の所得グラフから「中央値の半分以下の割合」を求めてみましょう。中央値437万円の半分は218.5万円で、その割合はおよそ20％。これが所得が中央値の半分以下の世帯の割合とみなすことができます。
　これをもって相対的貧困率としてもよいでしょう。「子供の」というより「大人の相対的貧困率」と言ってもよいものでしょうけれども、「家計の所得」を元に計算すると、「５人に１人が相対的貧困」ということになります。

大人の相対的貧困率（２）2019年

　他の資料も見てみましょう。２つ目の資料は総務省統計局のサイトで公表している「二人以上の世帯の貯蓄額の分布」（2019年）です。

　（図２）のグラフから「中央値の半分以下の世帯の割合」を求めてください。

総務省統計局のサイト（→ https://www.stat.go.jp/data/sav/sokuhou/nen/pdf/2019_gai2.pdf ）より

　先ほどの「所得」の分布より極端ですね。平均値はグラフに書いてあるように1755万円ですが、ピークはグラフの一番左の「100万円未満」です。すなわち最頻値は「50万円」となります。
　さて、中央値はいくらでしょうか。また、このグラフから「大人の相対的貧困率」を求めるといくらになるでしょうか。

平均値	1755万円
中央値	967万円
最頻値	50万円
相対的貧困率	31.5％

   下から順に割合を足していくと、1000万円までで50.5％となります。つまり中央値は約1000万円とわかります（総務省統計局のサイトによると「貯蓄０世帯を含めた中央値は967万円」です）。
　その半分は約500万円。グラフから500万円以下の割合を足すと、31.5％ですから、「ほぼ３世帯に１世帯が相対的貧困」ということになります。この数値を見ると、「子供の相対的貧困率」は「大人の相対的貧困率」に比べてむしろ少ないという見方もできますね。

東大入試数学理系2002より

　N を正の整数とする．2N 個の項からなる数列
　　　{ a₁ , a₂ , …… , a_N , b₁ , b₂ , …… , b_N }
を
　　　{ b₁ , a₁ , b₂ , a₂ , …… , b_N , a_N }
という数列に並べ替える操作を「シャッフル」と呼ぶことにする．並べ替えた数列は b₁ を初項とし，b_i の次に a_i ，a_i の次に b_i+1 が来るようなものになる．また，数列 { 1 , 2 , …… , 2N } をシャッフルしたときに得られる数列において，数 k が現れる位置を f(k) で表す．
　たとえば，N = 3 のとき，{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }  をシャッフルすると{ 4 , 1 , 5 , 2 , 6 , 3 } となるので，f(1) = 2 , f(2) = 4 , f(3) = 6 , f(4) = 1 , f(5) = 3 , f(6) = 5 である．

（１） 数列 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } を3 回シャッフルしたときに得られる数列を求めよ．　
（２） 1≦k≦2N を満たす任意の整数 k に対し， f(k)−2k は 2N＋1 で割り切れることを示せ．　
（３） n を正の整数とし，N = 2ⁿ⁻¹ のときを考える．数列 { 1 , 2 , 3 , …… , 2N } を 2n 回　
　　　シャッフルすると，{ 1 , 2 , 3 , …… , 2N } にもどることを証明せよ．

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（１）元の並び　　　　→　{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }
　　　シャッフル１回　→　{ 5 , 1 , 6 , 2 , 7 , 3 , 8 , 4 }
　　　シャッフル２回　→　{ 7 , 5 , 3 , 1 , 8 , 6 , 4 , 2 }
　　　シャッフル３回　→　{ 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 }

（２）1≦k≦N のとき　　 f(k)＝2k　　　より f(k)−2k＝0
　　　 N+1≦k≦2N のとき f(k)＝2(k−N)−1 より f(k)−2k＝−2N−1
　　　どちらも 2N＋1 の倍数。

（３）　（… これは、証明よりも、結論を楽しめば良いことにしましょう）

オンライン授業（９回目）「円周率」

　オンライン授業９回目のテーマは「円周率」です。授業との関連では「三角比」が絡みます。
　実は 7／11（土）の放課後に旧図書館（※）で生徒の何人かに付き合ってもらって収録したのですが、品質が伴わず、やむなく家で一人で再録しました。原因はいくつかあるのですが、一番の原因は「授業の中身が弱かった」から。その反省をもとに、中身をより充実して録画をアップしました。

◇ 人はなぜ円周率に熱くなるのか？
　　├ そもそも円周率とは？
　　├ 東大の過去問から（三角比）
　　└ 円や球に現れる意外な真実

ご覧あれ（→ https://youtu.be/-9nNC8ms1BI ）。
（※ 旧図書館：建て替えのため現状は空っぽで廃墟のよう？）

☆ 合同式

◇　「13日の金曜日」の定理
　（→ https://omori55.blogspot.com/2019/04/13.html ）
◇　ピタゴラス数は３,４,５の倍数から成る
　（→ https://omori55.blogspot.com/2020/07/blog-post_11.html ）
◇　
　（→ ）

★ 人はなぜ円周率に熱くなるのか？

　何千年も前から人は「円周率の大きさをより精度良く求める」ことに精を出してきた。そしてその動きは今も続いている。
　時を経て、円周率がいろんな場面に立ち現れることを人は知り、そして世界に潜む円周率を探し出し、炙り出すことに熱を上げるようになった。
　3月14日に結婚して「円周率と同じように、私たちの愛は永遠に続く」と言ってるカップルがいた。私は「πラジアン＝180°、つまり半周分だ」と言ってやった。

◇　円周率とは？　　　（→ https://omori55.blogspot.com/2019/03/blog-post_478.html ）
◇　東大の過去問から　（→ https://omori55.blogspot.com/2020/07/blog-post_7.html ）
◇　お年玉問題　　　　（→ https://omori55.blogspot.com/2019/03/blog-post_855.html ）
◇　輪切りスイカの原理（→ https://omori55.blogspot.com/2019/03/blog-post_197.html ）

　すなわち円周率は、我々の歴史であり、友であり、人生の指針でもある。

ピタゴラス数は３,４,５の倍数から成る

【定理１】
a²＋b²＝c² を満たす自然数 a , b , c のうち、どれかは３の倍数であり、どれかは４の倍数であり、どれかは５の倍数である。

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【例】
・ 3²＋4²＝5² では、3 が 3 の倍数で、4 が 4 の倍数で、5 が 5 の倍数である。
・ 5²＋12²＝13² では、12 が 3 の倍数であり 4 の倍数でもある。また、5 が 5 の倍数である。
・ 8²＋15²＝17² では、15 が 3 の倍数であり 5 の倍数でもある。また、8 が 4 の倍数である。
　　　　　　　　　：

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【証明１】
(A)　a , b , c がいずれも３の倍数でないと仮定すると、
　　a ≡ ±1 , b ≡ ±1 , c ≡ ±1（mod 3）より a² ≡ 1 , b² ≡ 1 , c² ≡ 1
　　このとき a²＋b² ≡ 2 となり、これは a²＋b² ≡ c² に矛盾する。
　　よって、a , b , c のいずれかは３の倍数である。

(B)　a , b , c がいずれも５の倍数でないと仮定すると、
　　a ≡ ±1 , ±2（mod 5）より a² ≡ 1 , 4 ≡ ±1　同様に b² ≡ ±1 , c² ≡ ±1
　　このとき a²＋b² ≡ ±2 , 0 となり、これは a²＋b² ≡ c² に矛盾する。
　　よって、a , b , c のいずれかは５の倍数である。

(C)　a , b , c がいずれも４の倍数でないと仮定すると、
　　(4n±1)² ＝ 16n²±8n+1 ≡ 1（mod 8）
　　(4n+2)² ＝ 16n²+16n+4  ≡ 4（mod 8）より
　　a²＋b² ≡  2 , 5 , 0 であり、c² ≡ 1 , 4 であるが、これは a²＋b² ≡ c² に矛盾する。
　　よって、a , b , c のいずれかは４の倍数である。

※　高校数学Ａの合同式を使った。
　　(C) では「mod 4」ではなく「mod 8」でやるのがミソ。

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【定理２】
　自然数 a , b , c が互いに素であり、かつ a²＋b²＝c² を満たすとき、a , b , c の中に３の倍数・４の倍数・５の倍数がちょうど１つずつある。
　また、このうち３の倍数は a , b のどちらかで、４の倍数は a , b のどちらかである。５の倍数は a , b に限らず、c の可能性もある。

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【証明２】
(A')　┌ n ≡ 0（mod 3）のとき n² ≡ 0　　　（← 3 で割り切れる数）
　　  └ n ≡ ±1（  〃  ）のとき n² ≡ 1　　　（← 3 で割って 1 または 2 余る数）
　　a²＋b² ≡ c²（mod 3）を満たすのは、(a , b , c) ≡ (0 , 0 , 0) を除いて、
　　(a , b , c) ≡ (0 , ±1 , ±1) , (±1 , 0 , ±1) の場合で、このとき a²＋b² ≡ c² ≡ 1 となる。
　　よって、a , b のどちらか一方だけが３の倍数で、他２つは３の倍数でない。

(B')　┌ n ≡ 0（mod 5）のとき n² ≡ 0　　　 （← 5 で割り切れる数）
　　  ├ n ≡ ±1（  〃  ）のとき n² ≡ +1　　　（← 5 で割って 1 または 4 余る数）
　　  └ n ≡ ±2（  〃  ）のとき n² ≡ 4 ≡ −1　（← 5 で割って 2 または 3 余る数）
　　a²＋b² ≡ c²（mod 5）を満たすのは、(a , b , c) ≡ (0 , 0 , 0) を除いて、
　　(a² , b² , c²) ≡ (0 , ±1 , ±1) , (±1 , 0 , ±1) , (±1 , ∓1 , 0) のとき。（複号同順）
　　よって、a , b , c のうち１つだけが５の倍数で、他２つは５の倍数でない。

(C')　┌ (2n)² ＝ 4n²　　　　　　　　　　　（← 偶数² は４の倍数）
　　  └ (2n+1)² ＝ 4n²＋4n＋1　　　　　　（← 奇数² を４で割ると 1 余る）
　　a²＋b² ＝ c² を満たすのは「a , b , c がすべて偶数」の場合を除いて、
　　(a , b , c) ＝ (偶 , 奇 , 奇) , (奇 , 偶 , 奇) の場合。
　　すなわち、a , b のどちらか一方だけが偶数が、他２つは奇数である。
　　上記【証明１】の (C) と合わせて、
　　「a , b のどちらか一方だけが４の倍数で、他２つは４の倍数でない」ことがいえる。

※　(C') では、偶数と奇数に分けて考えた。つまり「mod 4」の問題を「mod 2」でやった。
　　その中で (C) を使ったが、(C) では「mod 4」の問題を「mod 8」でやった。
　　3 と 5 は素数だから良かったが、4 は合成数なので何かと工夫が要る。

携帯電話位置情報の正しい使い方

　新型コロナウィルス感染拡大に伴う緊急事態宣言発令中の頃の話です。政府から「接触８割減を目指す」というようなことが言われました。時を同じくして、携帯電話各社から携帯電話の位置情報を基にして「外出数が以前と比べてどれくらい減っているか」の情報が出されました。そして「８割減にはまだ達していない」とか「８割減には程遠い」とか報道機関がそんな言い方をしているのをよく目にし、耳にしました。
　でも考えてみると、「接触率」と「外出率」は別物ですよね。さて、「接触率≒外出率」なのでしょうか？　そもそも接触率と外出率は比例するのでしょうか？
　ここで「外出する人の数が８割減」になったときに「接触率がどうなるか」を考えてみましょう。自分が外出する機会が２割に減って、外出した先でも人出が２割になっていれば、自分が接触する人数はこれまでの 0.2×0.2＝0.04倍に、すなわち96％減になりますよ。つまり「接触率は、外出率の２乗に比例する」のです。もちろん現実には「濃厚か否か、接触している時間」などによって違うのでしょうけれど、おおよそそのようにみなして良いだろうと思います。少なくとも「外出率≒接触率」という想定よりはよほど実態に合うはずです。

 では、外出率がどれくらい減れば「接触８割減」が達成されるかというと、ざっくり言えば「外出する人の数が半分に」なれば良いんです。各自が外出する機会が半分になって、外出した先でも人出が半分になっていれば、各自が接触する人数はこれまでの４分の１に、すなわち75％減になります。８割減にはちょっと届きませんが、これでほぼほぼクリアです。
　携帯電話の位置情報は外出率を見るのにとても良いデータです。けれども、それは接触率とは違う。ビッグデータも意味を考えずに数字だけを見るのは、誤解の元です。ビッグデータを扱う上で大事なのは、やはり世の中を見る目線でしょうね。
　またこの件は、情報科のカリキュラムでいうと「モデル化とシミュレーション」の話題と言えるかもしれません。「接触率＝外出率」と想定するモデルと、「接触率は外出率の２乗に比例する」と想定するモデルの立て方の違いとも言えるわけですから。
　そしてモデルの立て方が違えば、当然のことながらシミュレーション結果も変わります。携帯電話位置情報から得られた外出率が例えば以前の「６割減」であったとして、その情報から「接触８割減の目標」に達していると見るのか、達していないと見るのか、それくらいの結構大きな差になるわけです。

1. 「外出する人の数が８割減れば、接触率は単純計算して96％減る」のです。でも、そこまでやらなくても良いんじゃないですか？　接触が少ないに越したことはないのでしょうけれど、目標が「接触８割削減」なら、これは「やりすぎ、過剰対応」ということになるのではないでしょうか。
2. 新型コロナ禍の中で指数関数・対数関数はしばしば目にしました。指数関数的な増え方、対数処理を施した統計資料などです。そんな中で「接触率は、外出率の２乗に比例する」件は２次関数に出会えた稀な例でした。

円周率の大きさ（東大の入試問題より）

【問題】円周率が 3.05 より大きいことを証明せよ。（2003年東大入試　前期理系にて出題）

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　高校範囲の余弦定理を使ったり、２重根号を外したりして解く方法があるが、以下では中学範囲だけで解く。

＜解１＞　半径 1 の円に内接する 正８角形 の１辺の長さを c とする。

　　　　上図より　c² ＝ (1/√2)²＋(1－1/√2)² ＝ 2－√2 ＞ 2－1.415 ＝ 0.585
　　　　　　　　　（∵ √2＜1.415　← これが怪しいというなら、両辺を２乗せよ）
　　　　よって、c ＞ √0.585 ＞ 0.764　（← これも両辺を２乗すれば確認できる）
　　　　一方、上図において「円周の長さ ＞ 正８角形の周の長さ」だから　2π ＞ 8c
　　　　以上から、　π ＞ 4c ＞ 3.056 ＞ 3.05


＜解２＞　半径 1 の円に内接する 正12角形 の１辺の長さを c とする。

　　　　上図より　c² ＝ (1/2)²＋(1－√3/2)² ＝ 2－√3 ＞ 2－1.733 ＝ 0.267
　　　　　　　　　（∵ √3＜1.733　← これが怪しいというなら、両辺を２乗せよ）
　　　　よって、c ＞ √0.267 ＞ 0.516　（← これも両辺を２乗すれば確認できる）
　　　　一方、上図において「円周の長さ ＞ 正12角形の周の長さ」だから　2π ＞ 12c
　　　　以上から、　π ＞ 6c ＞ 3.096 ＞ 3.05


＜解３＞　要は多角形の辺の数が多くなれば良いわけで、必ずしも正多角形である必要はない。
　　　　多分、次のやり方が、計算は最も楽。

　　　　上図のように原点中心 , 半径５の円上に  A(0 , 5) , B(3 , 4) , C(4 , 3) , D(5 , 0) をとる。
　　　　第 2 , 3 , 4 象限にも同じように点をとって、十二角形を考える。
　　　　AB＝CD＝√10 , BC＝√2 だから 十二角形の周の長さは 4(2√10＋√2)。
　　　　円周の長さは 10π である。
　　　　また、√10＞3.16　,　√2＞1.41　が成り立つ。（← 両辺を２乗すれば確認できる）
　　　　以上から、10π＞4(2√10＋√2)＞4×(2×3.16＋1.41) ＝30.92＞30.5
　　　　よって、π＞3.05 が成り立つ。

－　完　－

コロナ入試元年の狙い目は

　今年は「オンライン◯◯」が流行ったが、学校関係で今年トレンドになりそうなのは、

• オンライン授業
• オンライン文化祭
• オンライン入試

この３つだろう。
　さて、オンライン授業８回目の中で「コロナ入試元年の狙い目」について語った。結論をズバリ言うと、

• 慶応大学を狙え

である。合わせて慶応大学の過去問から３問取り上げた。ＳＦＣの数学と商学部の論文テストである。後者についても中身はガッチリ数学である。
　こちら（→  https://youtu.be/Vy786IAiz_4 ）をご覧あれ。